FFTs פועלים על ידי התייחסות לאותות כאל מימד - עם חלקים אמיתיים ודמיוניים. זוכרים את מעגל היחידות? תדרים חיוביים הם כאשר הפאזור מסתובב נגד כיוון השעון, ותדרים שליליים הם כאשר הפאזור מסתובב עם כיוון השעון.

אם אתה זורק את החלק הדמיוני של האות, ההבחנה בין תדרים חיוביים ושליליים תאבד.

לדוגמא ( מקור):

אם היית מתווה את החלק המדומה של האות, אתה יקבל סינוסואיד נוסף, שלב הועבר לגבי החלק האמיתי. שים לב כיצד אם הפאזור היה מסתובב בכיוון השני, האות העליון יהיה זהה לחלוטין, אך יחסי השלב של החלק הדמיוני לחלק האמיתי יהיו שונים. על ידי השלכת החלק הדמיוני של האות אין לך שום דרך לדעת אם תדר הוא חיובי או שלילי.

בתחום הזמן, תדר שלילי מיוצג על ידי היפוך פאזה.

עבור גל קוסינוס, אין זה משנה, מכיוון שהוא ממילא סימטרי סביב אפס זמן. זה מתחיל ב -1 ויורד לאפס בשני הכיוונים.

$$ cos (t) = cos (-t) $$

עם זאת, גל סינוס מתחיל עם ערך של אפס בזמן אפס ועולה בכיוון החיובי, אך נופלת בכיוון השלילי.

$$ sin (t) = -sin (-t) $$

הנה גישה מעט שונה. בואו נראה לאיזו פונקציה תקופתית יש טרנספורמציה של פורייה בדיוק עם תדר \ $ - 1 \ $.

זו הפונקציה \ $ t \ mapsto e ^ {- 2 \ pi \ mathrm {i} t} = \ cos (-2 \ pi t) + \ mathrm {i} \ sin (- 2 \ pi t) = \ cos (2 \ pi t) - \ mathrm {i} \ sin (2 \ pi t) \ $ עבור \ $ t \ ב [0,1] \ $.

שימו לב לפונקציה זו יש את אותו חלק אמיתי לפונקציה \ $ t \ mapsto e ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t} \ $. לפונקציה אחרונה זו יש רק מרכיב תדרים יחיד - התדר \ $ 1 \ $.

הסיבה לכך שתדרים שליליים אלה מופיעים כאשר בוחנים אותות אמיתיים בלבד היא משום שהם נותנים דרך קלה יותר לתאר ערכים עצמיים מורכבים לחלוטין של הפעולה של מעגל היחידה על מרחב הפונקציות שלו.

עריכה: כדי להרחיב את ההערה האחרונה, כדי לבצע ניתוח תדרים, מה שבאמת רצינו לעשות זה לקחת את שטח הפונקציות המוערכות האמיתיות ב- $ 0,1] \ $, \ $ F ([0,1], \ mathbb {R}) \ $ ולהיות מסוגלים לבטא כל פונקציה \ $ f \ ב- F ([0,1], \ mathbb {R} ) \ $ במונחים של בסיס טבעי כלשהו של \ $ F ([0,1], \ mathbb {R}) \ $. אנו מסכימים שזה לא באמת כל כך הרבה אם נתחיל בתקופה שלנו היא \ $ 0 \ $ ל- $ 1 \ $ או \ $ 1/2 \ $ ל \ $ 3/2 \ $ ולכן באמת נרצה שהבסיס הזה יתנהג טוב עם ביחס למפעיל המשמרת \ $ f (x) \ mapsto f (a + x) \ $.

הבעיה היא, עם תארים מתאימים, \ $ F ([0,1], \ mathbb { R}) \ $ לא סכום ישיר של פונקציות שמתנהגות היטב ביחס לתזוזה. זהו סכום ישיר (הושלם) של מרחבי וקטור דו ממדיים המתנהגים היטב ביחס למפעיל המשמרת. הסיבה לכך היא כי למטריצה ​​המייצגת את המפה \ $ f (x) \ mapsto f (a + x) \ $ יש ערכים עצמיים מורכבים. מטריצות אלה יהיו אלכסוניות (בבסיס מתאים) אם אנו מורכבים את המצב. לכן אנו לומדים במקום זאת \ $ F ([0,1], \ mathbb {C}) \ $. להכנסת מספרים מורכבים יש אמנם עונש - אנו מקבלים מושג של תדרים שליליים.

כל זה מעט מופשט, אך כדי לראות באופן קונקרטי על מה אני מדבר שקול את שתי הפונקציות המועדפות עלי: $$ \ cos (2 \ pi t) = \ frac {1} {2} (e ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t} + e ^ {- 2 \ pi \ mathrm {i} t}) $ $$$ \ sin (2 \ pi t) = \ frac {1} {2 \ mathrm {i}} (e ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t} - e ^ {- 2 \ pi \ mathrm { i} t}) $$

שקול את השינוי לפי \ $ \ frac {1} {4} \ $, \ $ s (f (x)) = f (x + \ frac {1} { 4}) \ $. $$ s (\ cos (2 \ pi t)) = - \ sin (2 \ pi t) $$$$ s (\ sin (2 \ pi t)) = \ cos (2 \ pi t) $$ מרחב הווקטור האמיתי של \ $ \ cos (2 \ pi t) \ $ ו- \ $ \ sin (2 \ pi t) \ $ הוא מרחב וקטורי דו-ממדי של פונקציות שנשמר על ידי \ $ s \ $ . אנו יכולים לראות כי \ $ s ^ 2 = -1 \ $ אז ל- $ s \ $ יש ערכים עצמיים \ $ \ pm \ mathrm {i} \ $

לא ניתן לפרק את המרחב הדו-ממדי הזה של פונקציות eigenspaces עבור \ $ s \ $ אלא אם כן אנו מסבכים אותו. במקרה זה ווקטורי העצמיים יהיו \ $ e ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t} \ $ ו- \ $ e ^ {- 2 \ pi \ mathrm {i} t} \ $.

לסיכום, התחלנו בשני תדרים חיוביים אך על מנת לאלכסון את הפעולה של \ $ s \ $ היינו צריכים להוסיף בפונקציית התדר השלילי \ $ e ^ {- 2 \ pi \ mathrm { i} t} \ $.

דרך נהדרת לדמיין תדרים שליליים היא לווסת את האות המקורי. נניח שיש לך גל סינוס עם תדר \ $ \ omega_0 \ $ (ברדיאנים):

$$ x (t) = \ sin (\ omega_0t) $$

הספקטרום לאות זה יש שיא ב- \ $ \ omega = \ omega_0 \ $ ואחד בתדר השלילי \ $ \ omega = - \ omega_0 \ $.

על ידי ויסות האות \ $ x (t) \ $ בעצם מעבירים את הספקטרום המקורי בתדר הספק \ $ \ omega_c> \ omega_0 \ $:

$$ y (t) = x (t) \ cos (\ omega_ct) = \ sin (\ omega_0t) \ cos (\ omega_ct) = \ frac {1} {2} [\ sin (\ omega_c + \ omega_0) t- \ sin (\ omega_c- \ omega_0) t] $$

עכשיו שיא שלילי מקורי ב- \ $ - \ omega_0 \ $ הפך גלוי לאחר העברתו למעלה ב- \ $ \ omega_c \ $. עכשיו זה ב \ $ \ omega = \ omega_c- \ omega_0 \ $. השיא בתדרים חיוביים אינו ב- \ $ \ omega = \ omega_c + \ omega_0 \ $.

" איך אתה מדמיין תדירות שלילית בתחום הזמן? "

אני מפרש שאלה זו באופן הבא: האם קיימים תדרים שליליים במציאות?

אם פרשנות זו נכונה (ועומדת בליבת השאלה) התשובה שלי היא בפשטות: לא - הם לא קיימים.

יותר מזה (כדי להיות קצת "מתוחכם") - "תדרים" לא יכולים קיימים מכיוון שהם אינם כמות פיזית. במקום זאת, יש לנו גלים סינוסים עם כמה מאפיינים ספציפיים - ואחד מהתכונות הללו הוא מספר התקופות בשנייה. וזה מה שאנחנו מכנים "תדר". והמספר הזה לא יכול להיות שלילי. לפיכך, הכנסת אותות בעלי "תדרים שליליים" עשויה להיות בעלת יתרונות רבים, אך זהו "כלי" מופשט ותיאורטי טהור המאפשר פשטים של ביטויים / תיאורים מתמטיים.